Τρίτη, 19 Νοεμβρίου 2013

Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ ή αλλιώς ένας κύκλος χαράς !!!

Η αλήθεια είναι ότι κατά την παράδοση του μαθήματος δεν δίνω ιδιαίτερη έμφαση στη μορφή του πίνακα, επειδή όταν γράφω σ' αυτόν σπάνια στρέφω την πλάτη μου στους μαθητές. Κι αν ποτέ απαιτείται να το κάνω, φροντίζω να μείνω έτσι στραμμένη όσο το δυνατόν λιγότερο. Όχι πως δεν μου αρέσει να είναι καλογραμμένος ο πίνακας, με τα ωραία γραμματάκια, τις γραμμούλες, τα χρωματάκια, ίσα ίσα...Αλλά αντί να ασχολούμαι με την καλλιγραφία, προτιμώ να γράφω και να σημειώνω στα πεταχτά, ενίοτε δε στα τυφλά, προκειμένου να μη χάνω από τα μάτια μου το βλέμμα των μαθητών και τον παλμό της τάξης. Ειδικά δεν όταν συμβαίνει η τάξη να έχει παλμό, όπως είχε σήμερα το Β3 στο μάθημα της Άλγεβρας. Οι πέντε έξι λίγοτερο ήσυχοι μαθητές του τμήματος, από τη στιγμή που μπήκα, έδειχναν αποφασισμένοι να παρακολουθήσουν απερίσπαστοι. Κάποιοι είχαν αλλάξει θέση, για να έρθουν πιο μπροστά! Ίσως να το έκαναν επειδή στο προηγούμενο μάθημα, μετά από μια αναλυτική, αλλά πραγματικά αναλυτική, παρουσίαση της Τριγωνομετρίας που ήδη γνώριζαν από τα Γυμνασιακά τους χρόνια, φτάσαμε στον τριγωνομετρικό κύκλο μόλις δύο λεπτά πριν χτυπήσει του κουδούνι, οπότε τους είχα υποσχεθεί ότι στο επόμενο μάθημα θα τους παρουσίαζα ένα σούπερ δυνατό εργαλείο, μια επινόηση που αποδεικνύει το μεγαλείο του ανθρώπινου μυαλού, μια μέθοδο που θα τους βοηθήσει να γράψουν καλά στο επερχόμενο test της Άλγεβρας και θα τους κάνει να λύνουν σωστά τα προβλήματα της Φυσικής που θα διδαχτούν στη Γ', αλλά κι άλλα πολλά.

Η αλήθεια είναι ότι εγώ προσωπικά απολαμβάνω πολύ το συγκεκριμένο μάθημα, ακριβώς επειδή μου δίνει τη δυνατότητα να μιλήσω στους μαθητές για τη "διπλή" αντιστοίχιση. Και την ξεκινώ πάντα από τη θεμελιώδη αντιστοίχιση, των σημείων της ευθείας των πραγματικών, στους πραγματικούς κλπ. κλπ. Αργά και σταθερά. Μέχρι που καταλήγουμε να πούμε ότι κάθε σημείο Μ του τριγωνομετρικού κύκλου είναι ταυτόχρονα και σημείο του επιπέδου, οπότε ως σημείο του επιπέδου το Μ αντιστοιχίζεται σε ένα διατεταγμένο ζευγαράκι πραγματικών αριθμών. Ενώ ως σημείο του κύκλου το Μ, ορίζει το πέρας ενός τόξου...Και ακριβώς στο σημείο αυτό, κυρίες και κύριοι, γίνεται η μεγάλη αποκάλυψη!Το συνημίτονο και το ημίτονο του τόξου που έχει πέρας το Μ είναι η τετμημένη και η τεταγμένη του Μ αντίστοιχα! Ένα μικρό θαύμα! Και μια επέκταση στο ... άπειρο.

Τυχαίος τριγωνομετρικός κύκλος
Ο περιορισμένος υπολογισμός των τριγωνομετρικών αριθμών μόνο των οξειών γωνιών ορθογωνίων τριγώνων, όπως το μάθαμε στη Β' Γυμνασίου καταρρίφθηκε. Ο υπολογισμός της απόστασης ρ του Μ, από την αρχή των αξόνων, που απαιτούνταν για να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς, όπως το μάθαμε στη Γ' Γυμνασίου, υπερσκελίστηκε, γιατί το ρ στον τριγωνομετρικό κύκλο είναι ίσο με τη μονάδα! Δεν είναι θαύμα; Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς όλων των ειδών των γωνιών, χρησιμοποιώντας τον θαυμαστό τριγωνομετρικό κύκλο. Αρκεί να έχουμε καταλάβει αυτή τη διπλή αντιστοίχιση.

Και περί του λόγου το αληθές, για να καταλάβουμε αν καταλάβαμε τη διπλή αντιστοίχιση, βρήκαμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των τόξων που ορίζονται από τα σημεία τομής του κύκλου με τους άξονες! Λίγη συμμετρία, μια πρόχειρη ... χορογραφία, μια διάταση των χεριών, που αρκεί για να λειτουργήσει το κορμί μας ως ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων και αυτό ήταν όλο!(1, 0), (0,1), (-1,0), (0,-1). Συμμετείχαν σχεδόν όλοι και κυρίως συμμετείχαν οι συνήθως ανήσυχοι και μη συμμετέχοντες, οι ούτως ειπείν αδιάφοροι...Δεν θα έμπαινα στον κόπο να τα γράψω όλα αυτά, αν δεν είχε συμβεί κάτι ιδιαίτερα σημαντικό. 

Στο τέλος του μαθήματος ο συνήθως ανήσυχος και όχι πολύ συμμετοχικός Γιώργος σήκωσε το χέρι του και ζήτησε το λόγο. Νόμισα πως θα διατύπωνε κάποια απορία, αφού τόση ώρα παρακολουθούσε με προσοχή και συμμετείχε. Οπότε καταλαβαίνετε τι ένιωσα όταν άκουσα το παιδί να λέει το εξής: "Ειλικρινά, κυρία, έτσι όπως τον βλέπω τώρα τον πίνακα, νιώθω μέσα μου μια χαρά!" 
Θα έλεγε κανείς πως αστειεύεται, αλλά ο Γιώργος, ήταν καταφανές στην έκφρασή του και στο βλέμμα του, μιλούσε πολύ σοβαρά και εννοούσε ακριβώς αυτό που έλεγε.Γύρισα και κοίταξα τον πίνακα κι ένιωσα μέσα μου κι εγώ μεγάλη χαρά! Όχι με αυτό που έβλεπα στον πίνακα, αλλά με αυτό που έβλεπα στα μάτια των παιδιών που κοίταζαν τον πίνακα."Είδατε πόση αρμονία, τι χάρη και τι συμμετρία, κρύβει μέσα της η Τριγωνομετρία; Πώς να μη νιώθουμε χαρά, όταν μαθαίνουμε και όταν κατανοούμε τέτοια πράγματα;", ρώτησα και, όλως παραδόξως, δεν ακούστηκε ούτε ένα ειρωνικό ή περιπαικτικό "ε, καλά", "μα ναι,  φυσικά" ή "ό,τι πείτε, κυρία", κλπ.
Αντιθέτως έμειναν να κοιτάζουν τον (όχι ιδιαίτερα καλογραμμένο, ομολογώ) πίνακα, με την έκφραση ανθρώπων που μόλις είδαν μια ταινία που τους άγγιξε βαθιά...
Βρε, τι κάνουν τα Μαθηματικά! Τελικά, όταν τα καταλαβαίνεις, σε γεμίζουν με χαρά! 

Γράφει η Κατερίνα Καλφοπούλου στο ιστολόγιο της Μαθηματικά + Λογοτεχνία

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου