Κυριακή, 23 Νοεμβρίου 2014

Αλγεβρικοί Αριθμοί

Algebraic numbers – mathandcode.com

Αυτή είναι μια εικόνα των αλγεβρικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο, του David Moore που βασίζεται σε παλαιότερο έργο του Stephen J. Brooks, και διατίθεται μαζί με άλλα στην ιστοσελίδα του Moore, Math and Code.

Οι αλγεβρικοί αριθμοί είναι οι ρίζες των πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές. Οι ακέραιοι 0 και 1 είναι οι μεγάλες κουκκίδες κοντά στον πυθμένα, ενώ το i είναι κοντά στην κορυφή.

Σε αυτήν την εικόνα, το χρώμα ενός σημείου δείχνει το βαθμό του πολυωνύμου του οποίου είναι μια ρίζα:
  • κόκκινο = ρίζες των γραμμικών πολυωνύμων, δηλαδή ορθολογική αριθμούς,
  • πράσινο = ρίζες των πολυωνύμων τετάρτου βαθμού,
  • μπλε = ρίζες των κυβικών πολυωνύμων,
  • κίτρινο = ρίζες των πολυωνύμων quartic, και ούτω καθεξής.

Το μέγεθος του σημείου μειώνεται εκθετικά ανάλογα με την «πολυπλοκότητα» του απλούστερου πολυώνυμου με συντελεστή ακέραιο του οποίου είναι μια ρίζα. Εδώ η πολυπλοκότητα είναι το άθροισμα των απόλυτων τιμών των συντελεστών του πολυωνύμου αυτού.

Υπάρχουν πολλά διαφορετικά πρότυπα σε αυτή την εικόνα που απαιτούν εξήγηση!
Για παράδειγμα, κοιτάξτε κοντά στο σημείο i. Μπορείτε να περιγράψετε κάποια από αυτά τα πρότυπα, να διατυπώσετε κάποιες εικασίες γι 'αυτούς και να αποδείξετε κάποια θεωρήματα;
Ίσως μπορείτε να φανταστείτε μια ισχυρότερη εκδοχή του θεωρήματος του Roth, που λέει περίπου ότι οι αλγεβρικοί αριθμοί έχουν την τάση να «απωθούν» ρητούς αριθμούς χαμηλής πολυπλοκότητας.

Πηγή : AMS Website, Mathematical Imagery
Μετάφραση : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου - M.Sc. Μαθηματικός 

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου