Κυριακή, 11 Σεπτεμβρίου 2016

Συνέντευξη του Ομότιμου Καθηγητή Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών κ. Δρόσου Κωνσταντίνου στη Μαθηματικό Στρατή Αγγελική

Σήμερα το blog μας έχει την ιδιαίτερη τιμή να φιλοξενεί το αφυπηρετήσαν μέλος ΔΕΠ του Πανεπιστημίου Πατρών, ομότιμο καθηγητή Μαθηματικών κ. Κωνσταντίνο Δρόσο.

κ. Δρόσο καλησπέρα σας. Αισθάνομαι ιδιαίτερη υπερηφάνεια ως μαθηματικός που μου κάνατε αυτή την μεγάλη τιμή να συνδιαλλαχτείτε μαζί μου σε θέματα της Μαθηματικής Επιστήμης, η οποία αποτελούσε και αποτελεί την αρχή πάσης προόδου στην Ανθρωπότητα.

Καλησπέρα σας κ. Στρατή.

Ερώτηση 1: κ. Καθηγητά, διαθέτετε  ένα εντυπωσιακό βιογραφικό, που περιλαμβάνει μια εξαίρετη, ταυτοχρόνως, επιστημονική και  επαγγελματική πορεία. Μπορείτε να μας την περιγράψετε;

Τέλειωσα το Παν/μιο Αθηνών (ΕΚΠΑ), το 1968. Από το δεύτερο έτος άρχισα να αναπτύσσω ένα γνήσιο ενδιαφέρον για τα μαθηματικά. Το μεγάλο ερώτημα ήταν «ποια είναι η ουσία των μαθηματικών;» Ακόμα ως φοιτητής είχα μελετήσει ένα εκλαϊκευμένο-φιλοσοφικό βιβλίο Κβαντομηχανικής, το οποίο με επηρέασε, στο ζήτημα ότι η αβεβαιότητα και ειδικότερα «η πιθανότητα» βρίσκονται στη βάση όλων. Η άποψη αυτή αναβίωσε τελευταία, με την πολύ ενδιαφέρουσα εργασία του διάσημου μαθηματικούDavid Mumford mumford-AMS_The Dawning of the Age of Stochasticity

 όπου θεωρεί ως βάση τους πιθανοθεωρητικούς χώρους και όχι τη Θεωρία Συνόλων, αποδεικνύει δε ενδιαφέροντα αποτελέσματα.

Θα πρέπει εδώ να διακρίνουμε δύο είδη «μαθηματικών» αυτά που είναι αφαίρεση του «μακρόκοσμου» και αυτά που αναφέρονται στον «μικρόκοσμο & μεγάκοσμο». Τα πρώτα είναι στατικά, η δε λογική τους είναι η δίτιμη κλασική λογική πρώτης τάξεως. Τα μαθηματικά αυτά ανάγονται δηλαδή στην συνολοθεωρία και την κλασική λογική. Από την άλλη μεριά έχουμε τα μαθηματικά του μικρόκοσμου. Κάθε σωμάτιο μπορεί να περιγραφεί από μια κατάλληλη συνάρτηση. Έτσι τα μαθηματικά του μικρόκοσμου βασίζονται σε μεταβαλλόμενες «οντότητες». Οι τυχαίες μεταβλητές είναι μια κατηγορία τέτοιων τυχαία μεταβαλλόμενων πραγματικών αριθμών. Το σημαντικό εδώ είναι ότι τα μαθηματικά του μικρόκοσμου φαίνεται να είναι πιο κατάλληλα για τη μελέτη των έμβιων όντων. Επηρεασμένος λοιπόν από το βιβλίο της Κβαντομηχανικής, έφυγα με τη γυναίκα μου στο Καναδά, ως μετανάστης, αποφασισμένος να αποκτήσω τις γνώσεις αυτές που αναφέρονταν στις μεταβαλλόμενες οντότητες. Εδώ αρχίζει μια πορεία-περιπέτεια που με οδήγησε να ειδικευτώ στη Στατιστική και τις Πιθανότητες. Τελειώνοντας το Master μου, συναντήθηκα με τον Καθηγητή Γ. Γ. Ρούσσα, στο Μάντισον Ουισκόνσιν, και τελικά τελείωσα το διδακτορικό μου στην Πάτρα πάνω στην Ασυμπτωτική Στατιστική και ειδικά πάνω στην «συνάφεια πιθανοθεωρητικών μέτρων» (Contiguity of Prob. Measures).Ήδη από το Carleton στην Οτάβα του Καναδά, είχα αρχίσει να ενημερώνομαι με τη «Θεωρία των Ασαφών Συνόλων» και «πιθανοθεωρητικών μετρικών χώρων». Τα Ασαφή σύνολα ασχολούνται με ένα είδος αβεβαιότητας, που ήταν πιο γενική από την τυχαιότητα. Τα ασαφή μέτρα για παράδειγμα, δεν έχουν την προσθετική ιδιότητα ούτε ορίζονται σε άλγεβρες Boole. Στη συνέχεια, προσπαθώντας να συμπληρώσω τις γνώσεις μου, για τις μεταβαλλόμενες ποσότητες, οδηγήθηκα στα μη-Συμβατικά μαθηματικά, και ιδιαίτερα στα μοντέλα με τιμές σε μια άλγεβρα Boole. Όλα αυτά χρειάζονταν «Λογική». Για 5-7 χρόνια ασχολιόμουν αποκλειστικά με τα μοντέλα αυτά. Τελικά άρχισαν να βγαίνουν τα πρώτα διδακτορικά στην περιοχή αυτή, και κάπως να διορθώνεται και η επαγγελματική μου εξέλιξη. Τα επόμενα βήματα ήταν να ασχοληθώ με τις πλειότιμες λογικές και τις MV-άλγεβρες, καθώς και με την «Θεωρία Κατηγοριών και Τόπων» που στην ουσία αποτελούσαν το απόγειο των μεταβαλλόμενων οντοτήτων. Συνθέτοντας τα παραπάνω μπόρεσα να έχω μια πιο καθαρή εικόνα για τα «Θεμέλια και την φιλοσοφία των Μαθηματικών».

Ερώτηση 2 : Ποια είναι η άποψή σας για την απαρχή των Μαθηματικών και σε ποιες ιστορικές  χρονικές περιόδους διαιρούνται τα Μαθηματικά;

Τα μαθηματικά είναι και αυτά αποτέλεσμα της «ανάγκης». Μαθηματικές δραστηριότητες εμφανίζονται ταυτόχρονα με την εμφάνιση του ανθρώπου. Μια διαίρεση του μαθηματικού χρόνου συνήθως είναι η: Προελληνικά Μαθηματικά, Ελληνικά Μαθηματικά, Αναγεννησιακά μαθηματικά, Μοντέρνα Μαθηματικά (1789-1950) και Σύγχρονα Μαθηματικά (1950-σήμερα). Ο τελευταίος διαχωρισμός οφείλεται στον F. Zalamea. Το βιβλίο του: F. Zalamea Synthetic Philosophy of Contemporary Mathematics 

αποτελεί μια εξαιρετικά ενδιαφέρουσα φιλοσοφική απόσταξη του μεγάλου μαθηματικού AGrothentieck αλλά και των άλλων μεγάλων. Για ένα review του βιβλίου δες τοAlmagestum Contemporarium

Υπάρχουν και άλλοι τύποι υποδιαιρέσεων που αναφέρονται σε ρεύματα που επικρατούν σε συγκεκριμένες εποχές. Για παράδειγμα έχουμε την «γλωσσική στροφή», την «γνωσιακή στροφή», κ.λπ.  

Ερώτηση 3 : Ποιους παράγοντες, θεωρείται, ότι απαιτούνται  να ληφθούν υπόψη, για τις επερχόμενες εξελίξεις, στα μαθηματικά, της μεταμοντέρνας εποχής;

Η μοντέρνα εποχή χαρακτηρίζεται μεταξύ άλλων και από την «Αρχή της Αποκλείσεως του μέσου (ΑΑΜ)» 

που στην ουσία αποκλείει το “γκρίζο”. Η μεταμοντέρνα εποχή χαρακτηρίζεται από την εισαγωγή του “γκρίζου” ή της ασάφειας και γενικά των πλειοτίμων λογικών. Στη Θεωρία Τόπων, η εσωτερική λογική είναι ιντουϊσιονιστική και επομένως δεν ισχύει η ΑΑΜ. Έτσι Η Θεωρία Τόπων είναι ένα είδος «μεταμοντέρνων» μαθηματικών. Μπορούμε ακόμα να δούμε τα μεταμοντέρνα μαθηματικά ως ένα είδος γενίκευσης, όπου εκτός από τα άσπρα-μαύρα (0-1) αντικείμενα επισυνάπτουμε και «γκρίζα αντικείμενα». Όταν βρισκόμαστε στην 0-1 περιοχή, τότε ισχύει η κλασική λογική πρώτης τάξης. Όταν όμως πάμε στην γκρίζα περιοχή τότε χρησιμοποιούμε κατάλληλες πλειότιμες λογικές.

Επίσης, ενώ η Θεωρία Συνόλων βασίζεται στην ανάλυση του προς μελέτη αντικειμένου, και στη συνέχεια μπορούμε να έχουμε τη σχέση «το στοιχείο x, ανήκει στο σύνολο Α» (εA). Αντιθέτως, η «Θεωρία Κατηγοριών» ορίζει ένα αντικείμενο της κατηγορίας, αν γνωρίζουμε όλα τα εισερχόμενα στο αντικείμενο βέλη, ή όλα τα εξερχόμενα (Yoneda Lemma). Έτσι αν θέλουμε να ορίσουμε ένα έμβιο ον, π.χ. τον “Κώστα Δρόσο” τότε αν ξέρουμε όλα τα εισερχόμενα “βέλη”, δηλαδή τι επιδράσεις είχαν πάνω του η οικογένεια, οι φίλοι, και γενικά η κοινωνία, τότε ξέρουμε τον  “Κώστα Δρόσο” χωρίς να αναγκαστούμε να τον τεμαχίσουμε στα κύτταρά του για παράδειγμα, οπότε θα έπαυε να είναι έμβιο ον! Έτσι η “Θεωρία Κατηγοριών” θα μπορούσε να ονομαστεί και “ολιστικά μαθηματικά”. Τα εξερχόμενα από τον “Κώστα Δρόσο” (οι γενικευμένες ιδιότητες) είναι:«εκνευρίζεται εύκολα;»,«διδάσκει καλά;», κ.λπ. Γενικά η Θεωρία Κατηγοριών, μελετά τις «καθολικές ιδιότητες» μεταξύ αντικειμένων.

Αυτά τα σύγχρονα μαθηματικά, θα μπορούσαμε να τα χαρακτηρίσουμε ότι εστιάζονται περισσότερο στα μαθηματικά των έμβιων όντων και του μικροσκοπικού επιπέδου πραγματικότητας, παρά στα μαθηματικά της άψυχης φύσης, που είναι η αφαίρεση του μακροσκοπικού επιπέδου. Ιδιαίτερα η λειτουργία και η δομή του ανθρώπινου εγκεφάλου είναι στο κέντρο του ενδιαφέροντος. Ένας μαθηματικός του μέλλοντος θα πρέπει να ξέρει τα σύγχρονα μαθηματικά (Αλγεβρική τοπολογία, αλγεβρική γεωμετρία, κ.λπ.) καθώς επίσης και «νευροφυσιολογία και γνωσιακή ψυχολογία», «φιλοσοφία και θεμέλια των μαθηματικών», «Ευφυή συστήματα και τεχνητή νοημοσύνη», κ.λπ. Δείτε π.χ. το κείμενο που επεξεργάζεται ο M. Gromov, Ergosystems

Ερώτηση 4 : Μπορείτε να μας αναλύσετε, πιο διεξοδικά, τους ανωτέρω παράγοντες;

α.  Εκτεθείσα πλεύρωση (lateralization) του εγκεφάλου

Η πλεύρωση του εγκεφάλου, είναι μια μάλλον “speculative” θεωρία. Παρόλο που ο Sperry, The Split Brain Experiments

πήρε το Nobel για τα σχετικά πειράματά του. Υπάρχουν και εργασίες που αμφισβητούν την «επιστημονικότητα» της Θεωρίας.  Επιτρέψτε μου παρόλα αυτά να αμφισβητώ τα αποτελέσματα των εργασιών αυτών, αφού είναι δύσκολο να μετράει κανείς διαδικασίες του αριστερού και δεξιού ημισφαιρίου, όταν μάλιστα κατά τις μετρήσεις τα δύο ημισφαίρια επικοινωνούν μέσω του corpus calosum. Θεωρώ λοιπόν ότι το πρόβλημα είναι ανοικτό. Απέχουμε πολύ από την πλήρη κατανόηση της φύσης  της δομικής και συναρτησιακής διαφοράς μεταξύ των ημισφαιρίων.

Πρέπει ακόμα να αναφέρω ότι σύμφωνα με την άποψή μου, «η Θεωρία της Πλεύρωσης του εγκεφάλου» έχει μια εξαιρετικά δυνατή εξηγητική δύναμη για την κατανόηση των μαθηματικών καθ’ εαυτών. Στη συνέχεια υπάρχει μια μικρή επιλογή σχετικών βιβλίων και εργασιών: 
  • Harry A. Whitaker(Ed) Contemporary Reviews in Neuropsychology. 1988, Springer-Verlag.
  • Bradshaw, J. C. & Nettleton, N. C. 1981 The nature of hemisphere specialization in man.      Beha. Brain Sci. 4, 51–91.
  • K. Hugdahl Symmetry and asymmetry in the human brain”
  • EranZaidel, Marco Iacoboni (Eds)The Parallel Brain: The Cognitive Neuroscience of the Corpus Callosum, 2003.
  • Jamie I.D. Campbell Handbook of Mathematical Cognition
  • Michael S. Gazzaniga (eds.) Handbook of Cognitive Neuroscience
  • V. S. RamachandranEncyclopaedia of the Human Brain
Αξίζει να αναφέρουμε ότι σχεδόν όλοι οι Ρώσοι Γεωμέτρες, χρησιμοποιούν την πλεύρωση του εγκεφάλου.

β. Ανάγκες πληροφορικής και του αυτοματισμού της μεταβιομηχανικής κοινωνίας

Όπως σημειώσαμε και πιο πάνω, οι ανάγκες αυτοματισμού της παραγωγικής και άλλων διαδικασιών της μεταβιομηχανικής κοινωνίας, οδηγεί αμετάκλητα στην μελέτη της νευροφυσιολογίας του εγκεφάλου, ώστε να διευκολυνθεί η ρομποτική εξομοίωση του ανθρώπου. Ίσως όταν τελικά ο αυτοματισμός ξεφύγει από τα στενά πλαίσια του “κέρδους” του “χρηματοπιστωτικού καπιταλισμού” να δούμε ανθρώπινες κοινωνίες που να προσεγγίζουν «ουτοπίες» που έχουμε ονειρευτεί! (Δείτε π.χ. την τριλογία του Alvin Toffler)

Παρατηρούμε επίσης μια μαζική μετάβαση στην εννοιολογική φύση της Θεωρίας κατηγοριών. Ενδεικτικά αναφέρουμε:
  • Jose L. FiadeiroCategories for Software Engineering.
  • PrakashPanangaden Probabilistic Relations
  • Ernst-Erich Doberkat, Stochastic Relations: Foundations for Markov Transition Systems. Chapman & Hall, 2007.
Μια έρευνα στο internet "Applications of Category Theory", θα αποκαλύψει  την πληθώρα των αναφορών.

γ. Μαθηματικά βιολογίας και έμβιων όντων

Τα μοντέρνα μαθηματικά που βασίζονται στη συνολοθεωρία και την δίτιμη λογική, είναι στατικά και αναλυτικά, και ως εκ τούτου ακατάλληλα για την μελέτη έμβιων όντων. Εδώ χρειαζόμαστε δυναμικά και ολιστικά μαθηματικά, όπως είναι η Θεωρία Κατηγοριών και τόπων και τα «πραγματικά μαθηματικά» (αλγεβρική τοπολογία, αλγεβρική γεωμετρία και τα σχετικά) Ας δούμε όμως ποια είναι τα βασικά χαρακτηριστικά αυτής της μετατόπισης. Αυτά τα χαρακτηριστικά περιγράφονται με θαυμάσιο τρόπο στο άρθρο του J.E. Cohen: Mathematics is biology’s next microscope, only better; biology is mathematics’ nextphysics, onlybetter, PLOSBiology 2 (2004) No.12.

«Τα Μαθηματικά είναι το επόμενο μικροσκόπιο της Βιολογίας, μόνο που είναι καλύτερο, η Βιολογία είναι η επόμενη Φυσική των Μαθηματικών, μόνο που είναι καλύτερη.»

Στο πιο πάνω άρθρο, διαθέσιμο από την διεύθυνση
  
«Η Βιολογία θα υποκινήσει θεμελιωδώς νέα μαθηματικά γιατί η έμβια φύση είναι ποιοτικά πιο ετερογενής (ανομοιόμορφη) από ότι η ανόργανη φύση. Για παράδειγμα, έχει εκτιμηθεί ότι υπάρχουν 2000-5000 είδη πετρωμάτων και ορυκτών στο επιφανειακό στρώμα της γης,  τα οποία έχουν παραχθεί από τα περίπου εκατό στοιχεία που εμφανίζονται στη φύση.  Αντίθετα υπάρχουν πιθανώς μεταξύ 3 και 100 εκατομμυρίων βιολογικά είδη στη γη που έχουν παραχθεί από ένα μικρό ποσοστό των στοιχείων που εμφανίζονται στη φύση.    

Αν τα είδη των πετρωμάτων και ορυκτών μπορούσαν έγκυρα να συγκριθούν με τα είδη των ζώντων οργανισμών, ο έμβιος κόσμος έχει τουλάχιστον εκατονταπλάσια ποικιλομορφία από ότι ο ανόργανος. Για να αντιμετωπισθεί αυτή η υπερποικιλομορφία της ζωής σε κάθε επίπεδο πραγματικότητας της χωρικής και χρονικής οργάνωσης θα χρειασθούν θεμελιώδεις εννοιολογικές εξελίξεις στα μαθηματικά».

Η συνέντευξη, η οποία πιστεύω πως θα αποτελέσει ένα πολύτιμο εργαλείο, για όσους λατρεύουν και υπηρετούν την Μαθηματική Επιστήμη, ... συνεχίζεται ..., οπότε μπορείτε να την διαβάσετε και να την κατεβάσετε ολόκληρη,  χρησιμοποιώντας τον παρακάτω σύνδεσμο:



Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου