▪ Ακολουθία Cauchy

Ορισµός
Μια ακολουθία xn ονοµάζεται Cauchy, αν για κάθε ε>0 υπάρχει n0 τέτοιο ώστε για κάθε n,m≥n0 έχουµε
|xn−xm|0. Αφού xn→ℓ υπάρχει n0 τέτοιο ώστε
|xn−ℓ|<ε/2, για κάθε n≥n0.
΄Αρα για κάθε m,n≥n0 έχουµε
|xn−xm|=|xn−ℓ+ℓ−xm|≤|xn−ℓ|+|xm−ℓ|
<ε/2+ε/2=ε.
∆ηλαδή η xn είναι Cauchy. Αντίστροφα, έστω ότι είναι Cauchy. ∆είχνουµε κατ’ αρχάς ότι είναι ϕραγµένη. Αφού είναι Cauchy, υπάρχει n1 τέτοιο ώστε |xn−xn1|<1 για κάθε n≥n1. Εποµένως |xn|0. Αφού η xn είναι Cauchy, υπάρχει n2 τέτοιο ώστε
|xn−xm|<ε/2, για κάθε n,m≥n2. Αφού xkn→x, υπάρχει n−3 τέτοιο ώστε |xkn−x|<ε/2για κάθε n≥n3. Θέτουµε n0=max{n2,n3}.
Τότε για κάθε n≥n0 έχουµε kn≥n≥n0, άρα
|xn−x|=|xn−xkn+xkn−x|
≤|xn−xkn|+|xkn−x|<ε/2+ε/2=ε.
Αυτό σηµαίνει ότι η xn συγκλίνει στο x.