Ορισµός
Μια ακολουθία xn ονοµάζεται Cauchy, αν για κάθε ε>0 υπάρχει n0 τέτοιο ώστε για κάθε n,m≥n0 έχουµε
|xn−xm|0. Αφού xn→ℓ υπάρχει n0 τέτοιο ώστε
|xn−ℓ|<ε/2, για κάθε n≥n0.
΄Αρα για κάθε m,n≥n0 έχουµε
|xn−xm|=|xn−ℓ+ℓ−xm|≤|xn−ℓ|+|xm−ℓ|
<ε/2+ε/2=ε.
∆ηλαδή η xn είναι Cauchy. Αντίστροφα, έστω ότι είναι Cauchy. ∆είχνουµε κατ’ αρχάς ότι είναι ϕραγµένη. Αφού είναι Cauchy, υπάρχει n1 τέτοιο ώστε |xn−xn1|<1 για κάθε n≥n1. Εποµένως |xn|0. Αφού η xn είναι Cauchy, υπάρχει n2 τέτοιο ώστε
|xn−xm|<ε/2, για κάθε n,m≥n2. Αφού xkn→x, υπάρχει n−3 τέτοιο ώστε |xkn−x|<ε/2για κάθε n≥n3. Θέτουµε n0=max{n2,n3}.
Τότε για κάθε n≥n0 έχουµε kn≥n≥n0, άρα
|xn−x|=|xn−xkn+xkn−x|
≤|xn−xkn|+|xkn−x|<ε/2+ε/2=ε.
Αυτό σηµαίνει ότι η xn συγκλίνει στο x.
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
Καλησπέρα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕίναι μια καλή ιδέα να χρησιμοποιείται το LaTeX για όλες σας τις μαθηματικές εκφράσεις και είναι και κρίμα να μην το κάνετε, μιας και το Wordpress ίσως είναι η μοναδική πλατφόρμα που το υποστηρίζει αυτή τη στιγμή χωρίς extra plugin.
Οδηγίες εδώ : http://en.support.wordpress.com/latex/
$latex x^2+y^2=1$
ευχαριστω κωσταντινε.....
ΑπάντησηΔιαγραφή