Κυριακή, 28 Ιουλίου 2013

ΠΩΣ ΥΠΟΛΟΓΙΖΕΤΑΙ ΤΟ ΔΙΣΕΚΤΟ ΈΤΟΣ

Ίσως η ερώτηση από πρώτη άποψη να φαίνεται αφελής, αφού είναι γνωστό σε όλους ότι κάθε τέσσερα χρόνια έχουμε ένα δίσεκτο έτος, δηλαδή ένα έτος με μια μέρα παραπάνω τον μήνα Φλεβάρη. Έτσι τα δίσεκτα έτη έχουν 29 ημέρες τον Φλεβάρη, ενώ τα κανονικά έτη 28. Δίσεκτα έτη είναι αυτά που διαιρούνται με το 4, οπότε είναι φυσιολογικό το έτος 2000 να είναι δίσεκτο.

Θα προκαλούσε όμως έκπληξη σε πολλούς αν μάθαιναν ότι τα έτη 2100, 2200, 2300 κτλ μολονότι διαιρούνται με το 4 δεν είναι δίσεκτα. Υπάρχει ένας κανόνας που λέει ότι τα έτη που διαιρούνται με το 100 δεν είναι δίσεκτα, μολονότι διαιρούνται με το 4. Σύμφωνα λοιπόν με αυτήν την εξαίρεση θα περιμέναμε το 2000 να μην είναι δίσεκτο.

Υπάρχει όμως μια εξαίρεση της εξαίρεσης που λέει ότι τα έτη που διαιρούνται με το 400 μολονότι σύμφωνα με τον προηγούμενο κανόνα θα έπρεπε να μην είναι δίσεκτα, αυτά είναι. Έτσι το 2000, το 2400, το 2800 κτλ είναι δίσεκτα. Υπάρχει ακόμη μια εξαίρεση της εξαίρεσης της εξαίρεσης η οποία λέει ότι τα έτη τα οποία διαιρούνται με το 4000 μολονότι θα έπρεπε να είναι δίσεκτα αφού διαιρούνται με το 400 δεν είναι. Έτσι τα έτη 4000, 8000 12000 κτλ δεν είναι δίσεκτα.

Συνοψίζοντας λοιπόν τους κανόνες έχουμε:

31. Τα έτη που διαιρούνται με το 4000 δεν είναι δίσεκτα

32. Τα έτη που διαιρούνται με το 400 και όχι με το 4000 είναι δίσεκτα

33. Τα έτη που διαιρούνται με το 100 και όχι με το 400 δεν είναι δίσεκτα

34. Τα έτη που διαιρούνται με το 4 και όχι με το 100 είναι δίσεκτα.

Πώς προκύπτουν όμως αυτοί οι κανόνες;. Θα επιχειρήσουμε να δώσουμε μια εξήγηση. Οι κανόνες αυτοί προέρχονται από τη διαφορά της διάρκειας που υπάρχει ανάμεσα στο τροπικό και στο πολιτικό έτος. Αλλά ας εξηγήσουμε τι σημαίνει πολιτικό και τι τροπικό έτος.

Εμείς οι άνθρωποι έχουμε συμφωνήσει για καθαρά πρακτικούς λόγους, η διάρκεια ενός έτους να αποτελείται από ακέραιο πάντα αριθμό ημερών. Και αυτό το κάνουμε ώστε η αλλαγή του χρόνου να γίνεται πάντα την ίδια ώρα στις 12μμ της 31 Δεκεμβρίου εκάστου έτους. Τώρα πόσες μέρες θα έχει κάθε έτος αυτό καθορίζεται από το ημερολόγιο που έχουμε συμφωνήσει να ακολουθούμε και αυτό είναι το Γρηγοριανό ημερολόγιο. (1582μχ). Σύμφωνα λοιπόν με το Γρηγοριανό ημερολόγιο το έτος 1999 είχε 365 ημέρες, ενώ το 2000 έχει 366 ημέρες. Πολιτικό έτος ονομάζουμε τον ακέραιο αριθμό των ημερών που έχει κάποιο συγκεκριμένο έτος. Γιατί όμως δεν έχουμε συμφωνήσει το κάθε έτος να έχει σταθερό αριθμό ημερών πχ 365 και έτσι να μην μπερδευόμαστε με δίσεκτα έτη κτλ; Αυτό θα φανεί από την ανάλυση που θα κάνουμε το τι είναι το τροπικό έτος.

Ένα συνηθισμένο λάθος που κάνουν αρκετοί άνθρωποι είναι να πιστεύουν ότι χειμώνα έχουμε όταν η γη βρίσκεται μακριά από τον ήλιο, ενώ καλοκαίρι όταν είναι κοντά. Μια τέτοια αντίληψη είναι προφανώς λάθος, αφού είναι γνωστό ότι όταν το βόρειο ημισφαίριο της γης έχει χειμώνα, το νότιο έχει καλοκαίρι και αντίστροφα. Οι εποχές δεν καθορίζονται λοιπόν από την απόσταση γης - ηλίου, αλλά από την γωνία που σχηματίζει ο άξονας περιστροφής της γης με την ευθεία που ενώνει τον ήλιο με τη γη. Η γωνία αυτή κατά τη διάρκεια του έτους αλλάζει και επανέρχεται στην ίδια ακριβώς τιμή μετά από 365,24220 ημέρες. Αυτήν ακριβώς τη διάρκεια την καλούμε τροπικό έτος.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι συμφωνούσαμε το πολιτικό έτος να έχει διάρκεια σταθερή 365 ημερών. Τότε θα είχαμε διαφορά με το τροπικό έτος 0,24220 ημέρες κατ' έτος. Έτσι σε 756 χρόνια θα είχαμε διαφορά ανάμεσα στο τροπικό και το πολιτικό έτος 183 ημέρες δηλαδή περίπου μισό χρόνο. Αυτό θα είχε ως αποτέλεσμα το έτος 2338 δηλαδή μετά από 756 χρόνια από το έτος 1582 που θεσπίσθηκε το Γρηγοριανό ημερολόγιο, η 1η Ιανουαρίου να πέφτει εποχικά 6 μήνες αργότερα, δηλαδή μέσα στο κατακαλόκαιρο. Αυτό θα είχε πολύ δυσάρεστες συνέπειες για τη ζωή των ανθρώπων, οι οποίοι έχουν προσαρμόσει τη ζωή τους, ( οι αγρότες το πότε θα σπείρουν ή θα θερίσουν, οι υπάλληλοι το πότε θα πάρουν τις άδειές τους, πότε θα ανοίξουν ή θα κλείσουν τα σχολεία, κτλ ) ανάλογα με τις αντίστοιχες ημερομηνίες και επομένως και εορτές. Για να μην δημιουργήσουμε λοιπόν μια τέτοια κοινωνική αναστάτωση, θα έπρεπε να προσαρμόσουμε το πολιτικό έτος έτσι ώστε να είναι ίσο κατά μέσο όρο με το τροπικό, ώστε τα Χριστούγεννα να πέφτουν πάντα καταχείμωνο στο βόρειο ημισφαίριο και κατακαλόκαιρο στο νότιο.

Η πρώτη προσπάθεια προσαρμογής έγινε με την εισαγωγή των δίσεκτων ετών. Συμφωνήσαμε κάθε 4 χρόνια να προσθέτουμε μια μέρα στη διάρκεια του πολιτικού έτους και συγκεκριμένα στο τέλος του δεύτερου μήνα του Φεβρουαρίου. Έτσι πλέον το πολιτικό έτος γίνεται ίσο με ημέρες, ίσο δηλαδή με 365,25 ημέρες. Και πάλι όμως δεν είναι ίσο με το τροπικό έτος που έχει διάρκεια 365,2422 ημέρες. Η δεύτερη διόρθωση γίνεται με το να αφαιρέσουμε 3 ημέρες κάθε 400 χρόνια, δηλαδή με το να αφαιρέσουμε από το πολιτικό έτος τον αριθμό 3/400=0,0075. Έτσι η διάρκεια του πολιτικού έτους γίνεται 365,25-0,0075=365,2425 ένας αριθμός πολύ κοντά στη διάρκεια του τροπικού έτους. Αυτό το πετυχαίνουμε, με το να μην θεωρούμε ως δίσεκτα τα έτη που διαιρούνται με το 100 εκτός αυτών που διαιρούνται με το 400 τα οποία τα θεωρούμε κανονικά δίσεκτα.

Αφαιρώντας λοιπόν τις 3 ημέρες κάθε 400 χρόνια δημιουργούμε ένα πολιτικό έτος με διάρκεια 365,2425 ημέρες μεγαλύτερο όμως κατά 0,0003 ημέρες από τη διάρκεια του τροπικού έτους που είναι όπως είπαμε 365,2422 ημερών. Για να κάνουμε και αυτή τη διόρθωση αφαιρούμε ακόμη μια μέρα κάθε 4000 χρόνια (1/4000=0,00025) θεωρώντας ότι τα έτη 4000, 8000, 12000 κτλ που κανονικά θα ήταν δίσεκτα τελικά να μην είναι. Και πάλι όμως έχουμε μια διαφορά 0,0003-0,00025=0,00005 δηλαδή το Γρηγοριανό ημερολόγιο χάνει μια ημέρα στα 20.000 χρόνια !.

Επιμέλεια - Παρουσίαση : Γιώργος Χαιρετάκης, Μαθηματικός 

Πέμπτη, 25 Ιουλίου 2013

Η ΡΙΖΑ ΤΟΥ 5

Η τετραγωνική ρίζα του 5 είναι ο θετικός πραγματικός αριθμός που, όταν πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό του, δίνει τον προνομιακό αριθμό 5. Πιο συγκεκριμένα ονομάζεται η κύρια τετραγωνική ρίζα του 5, ώστε να διακρίνεται από τον αριθμό με αρνητικό πρόσημο με την ίδια ιδιότητα. Αυτός ο αριθμός εμφανίζεται στην κλασματική έκφραση για τη χρυσή αναλογία . Μπορεί να δηλώνεται ως ασύμμετρος αριθμός ως εξής:

Πρόκειται για έναν άρρητο αλγεβρικό αριθμό . Τα πρώτα εξήντα σημαντικά ψηφία του δεκαδικού επέκτασης είναι: 2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089 ... η οποία μπορεί να στρογγυλοποιείται προς το 2,236 εντός ακρίβεια 99,99%. Από τον Απρίλιο του 1994, η αριθμητική τιμή του σε δεκαδικά είχε υπολογιστεί σε τουλάχιστον ένα εκατομμύριο ψηφία.

Επιμέλεια - Παρουσίαση : Γιώργος Χαιρετάκης, Μαθηματικός 

Τετάρτη, 24 Ιουλίου 2013

Η Τέχνη των Αριθμών

Η Αριθμολογία είναι μια απάτη αλλά, η τέχνη που βασίζεται στους αριθμούς έχει μια πανέμορφη τυχαία ποιότητα. Για περισσότερα παραδείγματα αριθμητικής τέχνης μπορείτε να δείτε στο inessiness project. Οι λάτρεις των ψηφιακών ρολογιών θα έπρεπε να ερευνούν την τυχαία ομοιότητα των αριθμών.
  • Η Τέχνη του π
Ο Cristian Ilies Vasile είχε την ιδέα να παρουσιάσει τα ψηφία του π ως συνδέσμους που ενώνονται με διαδοχικά ψηφία. Η εικόνα αποτελείται από συνδέσμους (τμήμα : θέση) 3:0 → 1:1 → 4:2 → 1:3 → 5:4 …
Progression of the first 10,000 digits of π By Cristian Ilies Vasile. Created with Circos.

  • Η Τέχνη του π, του φ και του e
Προσθέτοντας στην παρουσίαση του Cristian Ilies Vasile τις πιθανότητες μετάβασης για το κάθε ψηφίο σε ομάδες των 10 ψηφίων. Για κάθε ψηφίο, d, η εσωτερική φούσκα δείχνει πόσες φορές ένα ψηφίο, i, εμφανίζεται αμέσως πριν το d. Ενώ η εξωτερική φούσκα δείχνει πόσες φορές το i ακολουθεί το d.


Progression and transition for the first 1,000 digits of π. Created with Circos.


Progression and transition for the first 1,000 digits of π, φ and e. Created with Circos.

Οι πιθανότητες μετάβασης για κάθε ομάδα 10 ψηφίων για τα πρώτα 2.000 ψηφία του π, φ και e φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Η μεγάλη φυσαλίδα στην ομάδα 9 για το π οφείλεται στην ασυνήθιστη "999999" αλληλουχία στο δεκαδικό ψηφίο 762, η οποία εμφανίζεται πολύ νωρίτερα από ό, τι αναμενόταν.


Progression and transition for the first 2,000 digits of e. Created with Circos.

Παρακάτω θα βρείτε περισσότερες φωτογραφίες από τον Cristian Vasile Ilies, όπου οι κουκίδες χρησιμοποιούνται για να αναπαραστήσουν την γειτνίαση μεταξύ των ψηφίων. Κάθε ψηφίο 0-9 αντιπροσωπεύεται από ένα έγχρωμο τμήμα. Οι τελείες σε ένα τμήμα αντιπροσωπεύουν ψηφία, τα οποία  ακολουθούν το ψηφίο που αντιπροσωπεύεται από το τμήμα. Η θέση της τελείας είναι περίπου η θέση εντός του αριθμού όπου το ψηφίο εμφανίζεται. Για παράδειγμα, στις συντεταγμένες του π, για τα πρώτα 7 ψηφία είναι η εικόνα που αποτελείται από τελείες χρησιμοποιώντας τρείς αυτή τη φορά  συντεταγμένες (τμήμα : θέση : ετικέτα) 3:00:01 → 1:01:04 → 4:02: 1 → 1:03:05 → 5:04:09 ....

τμήμα θέση ετικέτα
digit3         0      1
digit1       1       4
digit4      2       1
digit1      3        5
digit5      4       9
digit9      5       2
digit2     6       6


Progression and transition for the first 1,000 digits of π. Created with Circos.

Όταν είναι ευθυγραμμισμένα τα ψηφία των π, φ και e σε θέσεις στις οποίες οι τρείς αριθμοί έχουν το ίδιο ψηφίο απόδοσης της ομοιότητας τυχαίων αριθμών. Δείτε παρακάτω μια τέτοια περίπτωση …


Progression and transition for the first 1,000 digits of the accidental similarity number. Created with Circos.

  • Η Τέχνη του π
Είναι κατάλληλο να χρησιμοποιηθεί το Circos για να απεικονίσει τα ψηφία του π; Και εκτός αυτού, είναι πιο στρογγυλό από το Circos; Με τη χαρτογράφηση των ψηφίων σε μια κόκκινη-κίτρινη-μπλε παλέτα Brewer και την τοποθέτησή τους ως κύκλους σε μια σπείρα του Αρχιμήδη μπορεί να γίνει. 


Distribution of the first 13,689 digits of π.

Πηγή :  http://mkweb.bcgsc.ca/

Επιμέλεια-Παρουσίαση-Μετάφραση :  Ρεβέκα Θεοδωροπούλου - M.Sc. Μαθηματικός

Κυριακή, 21 Ιουλίου 2013

Μαθηματικά και δυσλεξία

Ένα σημαντικό ποσοστό των παιδιών με δυσλεξία έχουν δυσκολίες και στα μαθηματικά. Μπορεί όμως να συμβαίνει και το εντελώς αντίθετο, δηλαδή να έχουν ιδιαίτερη έφεση στα μαθηματικά ενώ παρουσιάζουν μαθησιακές δυσκολίες όσον αφορά την γραφή και ανάγνωση.

Τι δυσκολεύει συνήθως ένα δυσλεξικό μαθητή στα μαθηματικά;
  • Διαβάζει λάθος τις οδηγίες της άσκησης ή του προβλήματος, οπότε η λύση είναι ανέφικτη.

  • Διαβάζει και γράφει ανάποδα τους αριθμούς . π.χ. 24 αντί 42, 6 αντί 9, ε αντί 3, 7 αντί 1.

  • Λανθασμένη ανάγνωση των συμβόλων π.χ. + αντί χ, + αντί -

  • Δυσκολίες στο μέτρημα και στην προπαίδεια - αυτό μπορεί να οφείλεται σε γενικότερες δυσκολίες στην έννοια της διαδοχής.

  • Η αδύναμη βραχυπρόθεσμη μνήμη δεν βοηθά καθόλου στην επίλυση πράξεων με το μυαλό. Συνηθισμένο φαινόμενο οι μαθητές με δυσλεξία να χρησιμοποιούν τα δάχτυλα για να εκτελέσουν αριθμητικές πράξεις, ακόμα και σε μεγάλη ηλικία.

  • Για να λυθεί ένα μαθηματικό πρόβλημα χρειάζεται η ικανότητα της παράπλευρης σκέψης- κάτι που συχνά λείπει από τον δυσλεξικό μαθητή.

  • Η κακή αντίληψη του χώρου προκαλεί δυσκολίες στη γεωμετρία και τριγωνομετρία.

  • Η κακή αντίληψη του χρόνου προκαλεί δυσκολία στην εκμάθηση της ώρας.

  • Δεν μπορούν να εξηγήσουν τον τρόπο λύσης που βρίσκουν.
Τι μπορώ να κάνω για να βοηθήσω ένα παιδί στα μαθηματικά;Δίνω μερικές από τις πολλές ιδέες που υπάρχουν!
  1. To κυριότερο είναι τα μαθηματικά να γίνουν κατανοητά! Για να επιτευχθεί αυτό πρέπει να χρησιμοποιούνται αντικείμενα. π.χ. το παιδί θα μάθει να μετρά και να κάνει πράξεις πιο εύκολα αν χρησιμοποιούνται κύβοι, άβακας, παιχνίδια.

  2. Για τις μονάδες μέτρησης αφήνουμε τα χαρτιά και τα βιβλία και παίρνουμε μέτρο και χάρακα και μετράμε διαστάσεις και αντικείμενα. Το ίδιο κάνουμε όταν διδάσκουμε τις μονάδες όγκου- πάμε στην κουζίνα και ζυγίζουμε, υπολογίζουμε, συγκρίνουμε.

  3. Για να εξηγήσουμε τη διαίρεση, κάνουμε παραδείγματα μοιράσματος με μπισκότα, καραμέλες και ότι άλλο έχετε!

  4. Για να εξηγήσουμε τα κλάσματα, κόβουμε χαρτιά, κέικ, σοκολάτα κ.λ.π!

  5. Για να γίνει αυτοματοποίηση της πρόσθεσης, πρώτα διδάσκουμε τα ζευγάρια των όμοιων αριθμών. Δηλαδή 2+2, +, 4+4 κ.λ.π

  6. Δείχνουμε όλα τα ζευγάρια αριθμών που μας δίνουν ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα. π.χ. όλα τα ζευγάρια που μας κάνουν 5: 1+4, 2+3, 3+2, 4+1, 0+5

  7. Αν το μυαλό του παιδιού "κολλήσει" δεν έχει νόημα να επιμένουμε μία ώρα να βρει τη λύση, γιατί πολύ απλά δεν το θα τη βρει, θα απογοητευτεί και θα κουραστεί.

  8. Αν ένα παιδί απαντά σωστά αλλά με κάπως "ανορθόδοξο" τρόπο, δεν προσπαθούμε να του αλλάξουμε τρόπο σκέψης!

Επιμέλεια - Παρουσίαση :  Ρεβέκα Θεοδωροπούλου - M.Sc. Μαθηματικός

Παρασκευή, 19 Ιουλίου 2013

Η αντίστροφη τάξη (The flipped classroom) ένα νέο εκπαιδευτικό μοντέλο



Η αντίστροφη τάξη (flipped classroom) αποτελεί ένα νέο εκπαιδευτικό μοντέλο το οποίο ξεφεύγει απο την παραδοσιακή μορφή της διδασκαλίας που όλοι έχουμε στο μυαλό μας.
Όπως βλέπουμε στην πρώτη εικόνα η βασική διαφορά ανάμεσα στην αντίστροφη τάξη και στην παραδοσιακή αίθουσα διδασκαλίας είναι ότι μεταφερόμαστε απο την παράδοση του μαθήματος με διάλεξη (lecture) στην δραστηριότητα (activity) και με το ρόλο του εκπαιδευτικού να αλλάζει απο διδάσκων (lecturer – instructor) σε καθοδηγητή και μέντορα (mentor) των μαθητών για να διεκπεραιώσουν τις εργασίες τους (homework).


Ας δούμε με απλά βήματα πώς λειτουργεί το μοντέλο της αντίστροφης τάξης.

 Βήμα 1 (Στην τάξη) : Η παράδοση του μαθήματος/νέου αντικειμένου γίνεται με μορφή ppt ή pdf αρχείων τα οποία θα περιέχουν υπερσυνδέσμους σε videos, εικόνες, χάρτες κλπ  για την πληρέστερη κατανόηση του μαθήματος.

Βήμα 2 (Στο σπίτι): Οι μαθητές βλέπουν τα επιλεγμένα απο τον εκπαιδευτικό αρχεία και μελετούν το νέο μάθημα.

Βήμα 3 (Στο σπίτι): Οι μαθητές έχουν τη δυνατότητα να συνεργάζονται με τους συμμαθητές τους και τον δάσκαλο μέσω skype. Η παράδοση του μαθήματος μπορεί να γίνει και με τη χρήση διαδραστικού υλικού ή με τη χρήση πλατφόρμας για ασύγχρονη εκπάιδευση όπως πχ moodle.

Βήμα 4 (Στην τάξη): Οι μαθητές εκθέτουν τις απορίες τους βλέποντας τις σημειώσεις τους στην ομάδα εργασίας τους και στο δάσκαλο.

Ο δάσκαλος μπορεί να ζητήσει απο τις ομάδες εργασίας να εκθέσουν μία απορία ή ερώτηση κατανόησης του μαθήματος ώστε να γίνει συζήτηση με την υπόλοιπη τάξη.

Ο δάσκαλος μπορεί να απευθύνει ερωτήσεις κατανόησης προς τις ομάδες εργασίας είτε ατομικά στους μαθητές.

Συμπεράσματα :
  • Δεν  ισχύουν πλέον οι κανόνες της παραδοσιακής διδασκαλίας που γνωρίζουμε και μεγαλώσαμε.

  • Με το μοντέλο της αντίστροφης τάξης, η παράδοση του μαθήματος γίνεται ώς εργασία στο σπίτι.

  • Ο σχολικός χρόνος αφιερώνεται στη συνεργατική εργασία των μαθητών και τη συζήτηση με τον δάσκαλο.

  • Οι μαθητές και οι εκπαιδευτικοί εξοικειώνονται με τη χρήση της τεχνολογίας στην εκπαίδευση.

  • Οι μαθητές μαθαίνουν με το δικό τους ρυθμό.

  • Το μοντέλο της αντίστροφης τάξης εφαρμόζεται σε όλα τα στύλ μάθησης (πχ οπτικός, ακουστικός τύπος μαθητή).

  • Προάγεται η συνεργασία και ο διάλογος μέσα στην τάξη και εκτός (με τη χρήση skype, moodle κλπ).
Η αντίστροφη τάξη μπορεί αρχικά να εφαρμοστεί σε μία μόνο ενότητα (νέο εκπαιδευτικό αντικείμενο) και ανάλογα με τα αποτελέσματα να επεκταθεί ή όχι σε ολόκληρο το μάθημα.

Στη νέα «αναθεωρημένη» ταξινομία διδακτικών στόχων κατά Bloom (bloom’s taxonomy) οι στόχοι, για τον γνωστικό τομέα, εκφράζονται επιγραμματικά με τη μορφή ρημάτων όπως παρακάτω:

ΑΠΟΜΝΗΜΟΝΕΥΩ-ΘΥΜΑΜΑΙ

ΚΑΤΑΝΟΩ

ΕΦΑΡΜΟΖΩ

ΑΝΑΛΥΩ

ΚΡΙΝΩ-ΑΞΙΟΛΟΓΩ

ΔΗΜΙΟΥΡΓΩ-ΣΥΝΘΕΤΩ-ΠΑΡΑΓΩ


Ερμηνέυοντας τα παραπάνω, στην περίπτωση της αντίστροφης τάξης οι μαθητές αποκτούν γνώση και κατανόηση εκτός αίθουσας διδασκαλίας και εστιάζουν στην εφαρμογή, ανάλυση και αξιολόγηση εντός της τάξης με τη βοήθεια του δασκάλου και των συμμαθητών τους.

Είναι πλέον εμφανές ότι το μοντέλο αυτό έρχεται σε αντίθεση με την παραδοσιακή τάξη όπου η «πρώτη έκθεση» του μαθητή λαμβάνει χώρα με τη διάλεξη του δασκάλου (παράδοση του γνωστικού αντικειμένου) και η αφομοίωση της γνώσης γίνεται με την εργασία στο σπίτι. Οι ρόλοι αντιστρέφονται και κάτι τέτοιο δικαιολογεί και τον όρο «αντίστροφη τάξη».


Επιμέλεια - Παρουσίαση : Δημήτριος Νατσής

Instructional Designer

Master of Education in Distance Education

Τρίτη, 16 Ιουλίου 2013

Μια έκδοση από τη Λέσχη Ανάγνωσης στο Καρλόβασι της Σάμου

Μια λιτή, καλαίσθητη έκδοση με ένα κομψό ασπρόμαυρο σχέδιο της Υπατίας στο εξώφυλλο (φιλοτεχνημένο από τον Jules Maurice Gaspard).

Σε αυτήν την προσεγμένη έκδοση έχουν συγκεντρωθεί κείμενα, φωτογραφίες, στιγμιότυπα από όλες τις δραστηριότητες της χρονιάς 2012 – 2013, μιας ακόμα δραστήριας σχολικής λέσχης ανάγνωσης από τις δεκάδες εξαιρετικές λέσχες ανάγνωσης που λειτουργούν σε όλη την Ελλάδα.

Πρόκειται για έκδοση της λέσχης ΥΠΑΤΙΑ του Γυμνασίου Καρλοβασίων Σάμου με υπεύθυνους εκπαιδευτικούς τους Παναγιώτα Βαρσαμή, Δημήτρη Δρίτσα, Μαρία Ξανθοπούλου, Μαρία Παπαλάμπρου και Νίκο Ροκοπάνο.

Η έκδοση του Γυμνασίου Καρλοβασίων Σάμου μπορεί να αξιοποιηθεί και σαν οδηγός για τον τρόπο λειτουργίας μιας Λέσχης ανάγνωσης, η οποία στην προκειμένη περίπτωση ξεκίνησε από την ανάγνωση ενός βιβλίου και επεκτάθηκε σε ποικίλες δραστηριότητες : προβολές ταινιών, επισκέψεις σε βιβλιοθήκες, δημιουργία ιστοριών κόμικς μέσα από το toondoo, τη δωρεάν ηλεκτρονική υπηρεσία, με την οποία ακόμη και όσοι δεν έχουν καλλιτεχνική φλέβα μπορούν εύκολα να δημιουργήσουν τους δικούς τους χαρακτήρες κ.α.

Στις πρώτες σελίδες διαβάζουμε μια μικρή περίληψη του βιβλίου «Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ» (Εκδ. Καστανιώτης) του Απόστολου Δοξιάδη, το οποίο ήταν το μυθιστόρημα που επέλεξαν να διαβάσουν τη σχολική χρονιά που πέρασε. Υπάρχει ακόμα αναλυτική παρουσίαση της εκπαιδευτικής προσέγγισης που ακολούθησαν οι υπεύθυνοι του προγράμματος σε συνεννόηση με τους μαθητές. «Σε κάθε συνάντηση γινόταν ανάγνωση 10 – 15 σελίδων του κειμένου, είτε από έναν εκπαιδευτικό συντονιστή είτε από τους μαθητές. Στη συνέχεια γινόταν συζήτηση πάνω στο συγκεκριμένο μέρος του βιβλίου που διαβάστηκε. Το θέμα της συζήτησης δεν ήταν μόνο η πλοκή του μυθιστορήματος – που είναι βέβαια και από μόνη της πολύ ενδιαφέρουσα- αλλά κι ένα πλήθος άλλων θεμάτων που ξεπηδούσαν μέσα από το κείμενο», σημειώνουν.

Με αυτόν τον τρόπο κατάφεραν να προσεγγίσουν έννοιες των Μαθηματικών που δεν ανήκουν στο αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών του γυμνασίου αλλά είναι πολύ σημαντικές για την εξέλιξη της επιστήμης. Και να γνωρίσουν σπουδαίες μορφές της Ιστορίας των Μαθηματικών από τον Κρίστιαν Γκόλντμπαχ και τον Λέοναρντ Όιλερ ως τον Κωνσταντίνο Καραθεοδωρή και τον Κουρτ Γκέντελ.

«Το βιβλίο ήταν μιας πρώτης τάξεως ευκαιρία να μιλήσουμε ακόμα και … για το Σκάκι. Μπορεί στο σχολείο να υλοποιούνταν παράλληλα σχετικό με το Σκάκι πρόγραμμα, αλλά μόλις είδαμε το Θείο Πέτρο να ανακαλύπτει τον υπέροχο κόσμο με τα ασπρόμαυρα τετράγωνα δεν θα μπορούσαμε να μην απολαύσουμε μερικές παρτίδες με τους μαθητές μας!» γράφουν οι εκπαιδευτικοί του προγράμματος.

Η έκδοση ολοκληρώνεται με μια φιλολογική ματιά πάνω στο μυθιστόρημα που διάβασαν και με τη δημοσίευση εργασιών που οι έγραψαν οι μαθητές σε όλη τη διάρκεια της χρονιάς για τις σπουδαίες μορφές της Ιστορίας των Μαθηματικών που συνάντησαν στο βιβλίο.

Πηγή : thalesandfriends.org

Επιμέλεια – Παρουσίαση :   Αγγελική Στρατή - M.Sc. Μαθηματικός

Κυριακή, 14 Ιουλίου 2013

«Πᾶρε μας μανούλα μας στὸ σπίτι κι ἐμεῖς δὲν θὰ πεινᾶμε…»

Διαβάσαμε πριν λίγο στο blog :  Φιλονόη και Φίλοι
Βρέθηκα σήμερα σε ένα νηπιοτροφείο στην Καλλιθέα όπου φιλοξενεί παιδιά, που αδυνατούν οι γονείς να τους προσφέρουν ακόμη και την απαραίτητη διατροφή!!!
Εκεί λοιπόν εκτυλίχθηκε το εξής περιστατικό.
Μια μητέρα επισκέφθηκε τα παιδιά της για να μείνει λίγο μαζί τους, πέρασε η ώρα με αγκαλιές χαρές και παιχνίδια.
Ήρθε η ώρα όμως που έπρεπε να φύγει.
Κλάματα, τα μικρά κρατούσαν την μανούλα με τα χεράκια τους τόσο σφιχτά, που την πονούσαν, ενώ εκείνη το μόνο που μπορούσε να δώσει ήταν υποσχέσεις ότι θα ξανάρθει την επομένη ημέρα…
Τότε ήταν που το μεγαλύτερο, με ποτάμι τα δάκρυα άρχισε να την παρακαλάει με δυνατή φωνή να τα πάρει στο σπίτι…
Δεν μπορώ καρδούλα μου, δεν έχουμε τίποτα στο σπίτι ούτε να φάμε…
Το πρόσωπο της μικρής σοβάρεψε, σκέφτηκε λίγο και έδωσε την ποιο συγκλονιστική λύση στο πρόβλημα που έχω ακούσει στην ζωή μου…
( Πάρε μας μανούλα μου στο σπίτι και εμείς δεν θα πεινάμε ποτέ……)
Αυτά μια μέρα θα πληρωθούν κύριε Λιθαρά, σύντομα μάλιστα….Καλημέρα…

Παρασκευή, 12 Ιουλίου 2013

Τι έχετε ακούσει για το Grid Computing ?

Το Grid Computing είναι ένα υπολογιστικό πλέγμα, το οποίο χρησιμοποιεί τους πόρους από πολλούς υπολογιστές σε ένα δίκτυο και πάνω σε ένα μοναδικό πρόβλημα την ίδια στιγμή, συνήθως σε ένα επιστημονικό ή τεχνικό πρόβλημα που απαιτείται ένας μεγάλος αριθμός επεξεργαστικής ισχύος ή πρόσβαση σε μεγάλες ποσότητες δεδομένων.
Η επικοινωνία αυτών των υπολογιστών επιτυγχάνεται με πολλούς τρόπους, κάποιοι από αυτούς είναι το
internet, τοπικά δίκτυα (LAN), δίκτυα ευρείας περιοχής (WAN) κτλ.


Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα τέτοιου πλέγματος υπολογιστών είναι το seti@home (Search for Extraterrestrial Intelligence, Έρευνα για Εξωγήινη Νοημοσύνη), στο οποίο χιλιάδες άνθρωποι μοιράζονται την αχρησιμοποίητη ισχύ του επεξεργαστή του υπολογιστή τους, στη μεγάλη έρευνα για τα σημάδια της «λογικής» από τα σήματα του διαστήματος.

Το Grid computing απαιτεί τη χρήση του λογισμικού, το οποίο μπορεί να διαιρέσει τα κομμάτια ενός προγράμματος σε άλλα μικρότερα υποπρογράμματα ώστε να γίνει επεξεργασία αυτών από αρκετές χιλιάδες υπολογιστές. Υπάρχουν βέβαια και κάποιοι περιορισμοί σ’ αυτό, για παράδειγμα σε πόσα κομμάτια μπορεί να διαιρεθεί ένα πρόγραμμα αλλά και αν είναι έτσι φτιαγμένο ώστε να μπορεί να επιλυθεί εάν το σπάσουμε σε πολλά επιμέρους κομμάτια.

To Grid computing φαίνεται να είναι μια πολλά υποσχόμενη τεχνολογία για τους παρακάτω λόγους :  
  • την ικανότητά του να κάνει πιο αποδοτική τη χρήση ενός συγκεκριμένου ποσού των πόρων του υπολογιστή

  • για να λυθούν τα προβλήματα που δεν μπορούν να προσεγγιστούν χωρίς μια τεράστια υπολογιστική ισχύ.

  • μπορεί να γίνει συνεργασία μεταξύ των υπολογιστών ενός grid computing και όχι να κατευθύνονται από έναν μόνο υπολογιστή.

Αυτοί άλλωστε είναι και βασικοί λόγοι που χρησιμοποιείται από εταιρίες, επαγγελματικές ομάδες, πανεπιστήμια κτλ. Η τεχνολογία αυτή έχει εφαρμοστεί σε υπολογιστικές επιστημονικές εφαρμογές, μαθηματικών και ακαδημαϊκών προβλημάτων μέσω υπολογιστών εθελοντών, και χρησιμοποιείται σε εμπορικές επιχειρήσεις για πολλές διαφορετικές εφαρμογές όπως την ανακάλυψη φαρμάκων, διάφορες οικονομικές προβλέψεις, σεισμική ανάλυση, και back office επεξεργασίας δεδομένων για την υποστήριξη του ηλεκτρονικού εμπορίου και των υπηρεσιών Web.

→  Προσπάθησα παραπάνω να σας δώσω μια μικρή περιγραφή για το grid computing, τι είναι, που και πως χρησιμοποιείται και ποια είναι τα οφέλη του. Αξίζει όμως να μάθουμε και λίγα πράγματα για την προέλευση και την εξέλιξή του.

Ο όρος grid computing ξεκίνησε στις αρχές της δεκαετίας του 1990 ως μια μεταφορά της επεξεργαστικής ισχύς του υπολογιστή, όπως ένα ηλεκτρικό δίκτυο ηλεκτρικής ενέργειας. Η μεταφορά αυτή μέσω των υπολογιστών έγινε γρήγορα προσβάσιμη, όταν ο Ian Foster και ο Carl Kesselman δημοσίευσαν την δημιουργική εργασία τους, «The Grid : Blueprint για μια νέα υπολογιστική υποδομή» (2004).

Οι «CPU-σάρωσης» διαδόθηκαν από το 1997 μέσω του distributed.net και αργότερα το 1999 από τον seti@home. Έτσι άρχισε να αξιοποιείται η δύναμη των δικτυωμένων υπολογιστών σε όλο τον κόσμο, με σκοπό την επίλυση διάφορων ερευνητικών προβλημάτων.

Οι ιδέες του grid computing έγιναν περισσότερο γνωστές και διαδόθηκαν από τους Ian Foster και Carl Kesselman, καθώς και από τον Steve Tuecke, ο οποίος θεωρείται ο πατέρας του grid computing.

Η ομαδική τους προσπάθεια οδήγησε στη δημιουργία του Globus Toolkit, το οποίο περιλαμβάνει όχι μόνο τη διαχείριση υπολογισμού, αλλά και τη διαχείριση αποθήκευσης, παροχή ασφάλειας, τα δεδομένα κίνησης, την παρακολούθηση και ένα σύνολο εργαλείων για την ανάπτυξη πρόσθετων υπηρεσιών που βασίζονται στην ίδια υποδομή και τους ίδιους μηχανισμούς κοινοποίησης, υπηρεσίες ενεργοποίησης καθώς επίσης συγκέντρωση πληροφοριών.

Ενώ το Globus Toolkit παραμένει το κατεξοχήν πρότυπο για τη δημιουργία λύσεων δικτύου, μια σειρά από άλλα εργαλεία έχουν κατασκευαστεί και μας παρουσιάζουν ένα υποσύνολο των υπηρεσιών που απαιτούνται για τη δημιουργία μιας επιχείρησης ή ενός παγκόσμιου δικτύου.

Τέτοια περίπτωση ήταν το cloud computing, το οποίο έκανε την εμφάνισή του 2007. Εννοιολογικά είναι παρόμοιο με τον κανονικό ορισμό που έδωσε ο Ian Foster για το υπολογιστικό πλέγμα.

→  Ομολογώ πως η αναφορά μου στο grid computing είναι μόνο μια σύντομη παρουσίαση και μια περίληψη θα έλεγα όλων αυτών που αποκόμισα διαβάζοντας κι εγώ γι’ αυτό … μου αρέσει να μαθαίνω καινούργια πράγματα και πολύ περισσότερο με ευχαριστεί να μοιράζομαι αυτά που μαθαίνω.

Θα σας δώσω μερικές από τις πηγές μου για να βρείτε περισσότερες πληροφορίες και να μάθετε γι’ αυτό το ενδιαφέρον θέμα …

https://en.wikipedia.org/wiki/Grid_computing
http://www.howstuffworks.com/grid-computing.htm
http://searchdatacenter.techtarget.com/definition/grid-computing.

Αν έχετε όρεξη για διάβασμα, δείτε σχετικά βιβλία που κυκλοφορούν … http://www.papasotiriou.gr/search?q=grid%20computing 

ή δείτε ένα βίντεο για περισσότερες λεπτομέρειες … http://www.youtube.com/watch?v=LZDSLzU9pZ4.

Διαβάστε και κατεβάστε το άρθρο από το :  Grid computing

Επιμέλεια - Παρουσίαση :  Ρεβέκα Θεοδωροπούλου - M.Sc. Μαθηματικός

Δευτέρα, 8 Ιουλίου 2013

Μηχανογραφικό 2013 ...

Ήρθε ο καιρός λοιπόν να περάσετε στο δεύτερο στάδιο της προσπάθειάς σας και να φτιάξετε ένα καλό μηχανογραφικό.
Ο χρόνος δεν είναι πολύς τώρα πια ... καταληκτική ημερομηνία είναι η Παρασκευή 12 Ιουλίου.

Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να σκεφτείτε τι είναι αυτό που σας αρέσει περισσότερο, να αποφασίσετε με ποιόν από τους δικούς σας ανθρώπους, π.χ. καθηγητή, φίλο, γνωστό ή τους γονείς σας, θέλετε να φτιάξετε μαζί το μηχανογραφικό και να αρχίσετε τις δοκιμές μέχρι να έχετε έτοιμο αυτό που σας εκφράζει πιο πολύ και ανταποκρίνεται στα θέλω σας !!!

Φυσικά θα λάβετε υπόψη σας και άλλους παράγοντες για την επιλογή σας, όπως την απόσταση, τα οικονομικά της οικογένειας, το αν θέλετε να απομακρυνθείτε από την αγαπημένη σας πόλη και πολλά άλλα, διαφορετικά σίγουρα για τον καθένα.

Εγώ το μόνο που θα κάνω είναι να βοηθήσω λίγο παραθέτοντας κάποιους χρήσιμους συνδέσμους, όπως το  www.mixanografiko.gr

ή ένα πολύ αναλυτικό βίντεο για να μην σας ξεφύγει τίποτα απολύτως



Εύχομαι καλή Επιτυχία και καλά αποτελέσματα σε όλους !!! 

Επιμέλεια - Παρουσίαση :  Ρεβέκα Θεοδωροπούλου - M.Sc. Μαθηματικός

Κυριακή, 7 Ιουλίου 2013

Ορισμός του ηλεκτρονικού χαρτοφυλακίου και η αξιοποίηση του ως μέσοαξιολόγησης στην εκπαιδευτική διαδικασία.


Όλοι μας δεχόμαστε ερεθίσματα και μαθαίνουμε πράγματα απο την πρώτη ημέρα της γέννησης μας. Κάποιες απο αυτές τις στιγμές τις έχουμε αποτυπώσει σε συλλογές φωτογραφιών (album). Με την ίδια ακριβώς λογική ένας μαθητής στο σχολείο δημιουργεί ένα φάκελο (χαρτοφυλάκιο) με τις βέλτιστες εργασίες του κατά τη διάρκεια του σχολικού έτους. Ο «φάκελος εργασιών του μαθητή (eportfolio) αποτελεί συλλογή των έργων ενός μαθητή, τα οποία έχουν επιλεγεί με την συναίνεση του και με βάση συγκεκριμένο στόχο. Τα έργα αυτά αποτελούν τεκμήρια για την προσπάθεια, την πρόοδο και την επίδοση του σε δεδομένο ή δεδομένα γνωστικά αντικείμενα του αναλυτικού προγράμματος (μεμονωμένα ή συσχετιζόμενα)». (Κουλουμπαρίτση και Ματσαγγούρας, 2004).

Το ηλεκτρονικό χαρτοφυλάκιο (γνωστό ώς eportfolio ή digital portfolio) είναι μια συλλογή ψηφιακών αντικειμένων (artefacts) η οποία αποτελεί το φάκελο εργασιών του μαθητή. Ένα ηλεκτρονικό χαρτοφυλάκιο μπορεί να περιλαμβάνει έγγραφα, φωτογραφίες, βίντεο, παρουσιάσεις, μουσική κ.α. Όπως αναφέρουν οι Sutherland και Powell (2007), «Το e-Portfolio είναι μια σκόπιμη συνάθροιση ψηφιακών αντικειμένων-ιδεών, στοιχείων, σκέψεων, ανατροφοδοτήσεων κ.λπ., που παρουσιάζονται σε ένα επιλεγμένο ακροατήριο, ως ενδείξεις της μαθησιακής πορείας και/ή των ικανοτήτων του μαθητή». Είναι ένα «ταξίδι μάθησης» και μία διαδικτυακή απεικόνιση γνωστικών εμπειριών αφού παρέχει πρόσβαση σε πολλά ψηφιακά αντικείμενα και πόρους με τη χρήση υπερσυνδέσμων και πολυμέσων.

Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι το eportfolio αποτελέι ένα σημαντικό εργαλείο αφού μπορεί να έχει πολλές χρήσεις. Ενδεικτικά:

i. Το eportfolio χρησιμοποιείται απο μαθητές κατά τη διάρκεια των σπουδών τους ώς μέσω παρουσίασης των δεξιοτήτων και γνώσεων τους.

ii. Χρησιμοποιείται απο εκπαιδευτικά ιδρύματα και οργανισμούς (πχ πανεπιστήμια) ώς μέσο τελικής αξιολόγησης των φοιτητών.

iii. Χρησιμοποιείται απο άτομα που αναζητούν την τύχη τους στην αγορά εργασίας ώς μέσο παρουσίασης των προσόντων και των επιτευγμάτων τους.

iv. Αποτελεί ένα συνεργατικό περιβάλλον εργασίας αφού δίνει την ευκαιρία για τη δημιουργία ομάδων και ανταλλαγή ιδεών μεταξύ του μαθητή και εκείνων που αληλεπιδρούν με το ηλεκτρονικό χαρτοφυλάκιο. Ένας εκπαιδευτικός θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει συγκεκριμένο λογισμικό για τη δημιουργία ηλεκτρονικού χαρτοφυλακίου ώστε να προωθήσει τη συνεργασία μεταξύ των μαθητών και να επικεντρωθούν σε κάποιο γνωστικό αντικείμενο.
v. Αποτελέι μέσο αξιολόγησης απο οργανισμούς ευρέσεως εργασίας (όπως ακριβώς ένα βιογραφικό σημείωμα).

Υπάρχουν τρεις κύριοι τύποι των e-Portfolio (Regis, 2003):
i. e-Portfolio Αξιολόγησης (Assessment Portfolios), που έχουν ως κύριο στόχο την παρουσίαση των ικανοτήτων ενός εκπαιδευόμενου και χρησιμοποιούνται για την αξιολόγηση των μαθητών.

ii. e-Portfolio Παρουσίασης (Showcase or Presentation Portfolios), που παρουσιάζουν τα καλύτερα στοιχεία της δουλειάς και τις ικανότητες ενός εκπαιδευόμενου.

iii. e-Portfolio Ανάπτυξης (Development or Working Portfolios), που ανανεώνονται συνεχώς, τόσο από τους εκπαιδευομένους όσο και από τους εκπαιδευτές και έχουν ως στόχο την αυτό-αξιολόγηση και την παροχή ανατροφοδότησης στους εκπαιδευόμενους. Παρουσιάζουν την μαθησιακή εξέλιξη των μαθητών, ενώ παράλληλα παρέχουν και επικοινωνία ανάμεσα σε εκπαιδευόμενους και εκπαιδευτές.

Η χρήση του ηλεκτρονικού χαρτοφυλακίου μπορεί να βελτιώσει μία εκπαιδευτική μέθοδο αφού εστιάζει στην εξατομικευμένη και συνεργατική μάθηση. Ο κάτοχος του eportfolio μπορέι να παρακολουθεί την εξέλιξη του (self – monitoring) και να αυτοαξιολογείται (self – assessment). Με αυτόν τον τρόπο αποκτά πλήρη γνώση της μαθησιακής του πορείας, ορίζοντας τους προσωπικούς του στόχους στο πλαίσιο της αυτό-ρυθμιζόμενης μάθησης (Kalz, 2005 ; Attwell, 2005).

Σε επόμενη ανάρτηση θα εστιάσουμε στη χρήση συγκεκριμένου λογισμικού για τη δημιουργία eportfolios (mahara).

Επιμέλεια - Παρουσίαση : Δημήτριος Νατσής
E-learning Consultant (M.Ed)

Σάββατο, 6 Ιουλίου 2013

Ποια πλευρά του Θεού βλέπουν οι Μαθηματικοί;

Απόσπασμα από τη συνέντευξη του μαθηματικού Δημήτρη Χριστοδούλου στην εφημερίδα "ΤΟ ΒΗΜΑ", στο Θανάση Λάλα ... λίγα χρόνια πριν.
  • Όταν κάποιος σαν εσάς βρεθεί μπροστά στην ανακάλυψη αυτών των μεγάλων λύσεων, αποκτά άλλη αντίληψη για τον Θεό;
«Εμείς οι μαθηματικοί μπορούμε να δούμε μόνο μία άποψη του Θεού, αυτή μέσω των μαθηματικών. Ίσως οι φιλόσοφοι να βλέπουν και τις δύο πλευρές του Θεού, αλλά δεν τις βλέπουν τόσο καλά όσο βλέπουμε εμείς τη μία. Εμείς βλέπουμε καλύτερα τη μία και οι ποιητές πολύ καλά την άλλη. Οι φιλόσοφοι υποτίθεται ότι τις βλέπουν και τις δύο, αλλά μάλλον πιο αμυδρά».
  • Μπορείτε να μου πείτε ποια πλευρά του Θεού βλέπετε εσείς;
«Για μένα ο Θεός είναι ο μουσικοσυνθέτης του Σύμπαντος ...  Αυτή η μεγάλη συμφωνία αποτελεί έκφραση μιας τέλειας αρμονίας. Σας είπα όμως ότι μπορώ να διαβάσω και τον Όμηρο και να αρχίσω να κλαίω ­ τέτοια συγκίνηση με πιάνει από τη θέα της άλλης πλευράς του Θεού. Η μία όψη του Θεού κατοικεί στην αρχαία τραγωδία, στον Σαίξπηρ. Όχι ότι έχω κάποιο ιδιαίτερο ταλέντο για να καταλάβω αυτό που λέω διαβάζοντας Ευριπίδη ή Σαίξπηρ· απλώς το εισπράττω όπως όλοι οι άλλοι κοινοί άνθρωποι. Αποφεύγω βέβαια σε μεγάλες δόσης αυτή την πλευρά του Θεού, γιατί όπως σας είπα με βγάζει από τον δρόμο μου... Τα μαθηματικά είναι η ζωή μου, εκεί όπου έχω ταλέντο, και προσπαθώ να συναντιέμαι με αυτή την πλευρά του Θεού. Μέσω των μαθηματικών, όπου έχω κάποια ιδιαιτερότητα σε σχέση με τον μέσο άνθρωπο, αυτό που μπορώ να κάνω είναι προσεγγίζω αυτή την αρμονία που αντιπροσωπεύει την ύπαρξη του Θεού».
  • Η στιγμή που συλλαμβάνετε τη λύση ενός προβλήματος είναι μια στιγμή επικοινωνίας με τον Θεό;
«Οπωσδήποτε, διότι είναι ασφαλώς μια ενόραση. Θυμάμαι πολλές τέτοιες στιγμές. Μια τέτοια στιγμή συνάντησής μου με τον Θεό είναι όταν ανακάλυψα "το αναλλοίωτο στο άπειρο"! Σκέφτηκα πώς είναι δυνατόν κάτι τόσο αφηρημένο, κάτι το οποίο ανήκει εντελώς στον κόσμο των ιδεών, να είναι άμεσα συνδεδεμένο με κάτι που είναι μπροστά στα μάτια μου; Αυτές όμως οι ανακαλύψεις μπροστά στις ανακαλύψεις των μεγάλων δεν είναι τίποτε».
  • Άρα ο Νεύτωνας και ο Αρχιμήδης είχαν συνεχή επικοινωνία με τον Θεό, έτσι;
«Οπωσδήποτε. Εγώ νομίζω ότι υπάρχει μόνο η θεία χάρις, η οποία σου αποκαλύπτει κάτι. Κανείς δεν ανακάλυψε κάτι που να μην υπήρχε. Φευγαλέα ίσως βλέπεις περισσότερα πράγματα. Στην προσπάθεια όμως να τα κάνεις συγκεκριμένα, πολλά σου ξεφεύγουν και μένεις τελικά με λιγότερα».

Πηγή : Διασκεδαστικά Μαθηματικά

Επιμέλεια - Παρουσίαση :  Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – M.Sc. Μαθηματικός

Τετάρτη, 3 Ιουλίου 2013

Μαθηματικά ... Μουσική της Σιωπής και Τέχνη της Αλήθειας

του Νίκου Λυγερού

Γιατί να γράψει ο Leonardo da Vinci πάνω στα τετράδιά του : όποιος δεν είναι μαθηματικός να μη διαβάσει το έργο μου; Σε αυτό το ερώτημα θα προσπαθήσουμε ν’ απαντήσουμε με διαφορετικούς αλλά συντονισμένους τρόπους.

Αρχικά ο Leonardo da Vinci έγινε γνωστός στους πρώτους κοινωνικούς κύκλους ως μουσικός κι έγραφε χαρακτηριστικά ότι η μουσική γεννιέται και πεθαίνει την ίδια στιγμή. Το πλαίσιο του εκείνη την εποχή ήταν πάρα πολύ φτωχό, όσον αφορά στο θέμα της παρτιτούρας. Είναι μόνο προς το τέλος της ζωής του που θα βρούμε τις πρώτες παρτιτούρες για λαούτο, το όργανό του. Κατά συνέπεια, ο Leonardo da Vinci γνωρίζει τη δυσκολία της καταγραφής της που της δίνει ένα από τα αφαιρετικά χαρακτηριστικά των μαθηματικών. Είναι, λοιπόν, δυνατόν να μπόρεσε να τα ερμηνεύσει ο Leonardo da Vinci ως τη μουσική της σιωπής.


Στην πορεία του, διότι η λέξη εξέλιξη χάνει την ιδιότητά της με την έννοια της ιδιοφυΐας, ο Leonardo da Vinci αναζητούσε πάντα το βάθος κι όχι μόνο την επιφάνεια. Αυτό το χαρακτηριστικό εξηγεί το πάθος και την επιμονή του για τις ανατομικές μελέτες. Και πάλι όμως προδίδει και μία μαθηματική αναζήτηση. Η ανάγκη της κατανόησης του υπόβαθρου και της επινόησης της δομής μιας οντότητας, είναι τόσο αισθητή στα μαθηματικά που αποτελεί τον πυρήνα τους όσον αφορά στο γνωστικό αντικείμενο. Και η επαφή του με το φίλο του μαθηματικό Luca Pacioli σίγουρα βοήθησε το Leonardo da Vinci να αντιληφθεί την ισχύ του μαθηματικού εργαλείου για τη μελέτη της φύσης που αποτελούσε γι’ αυτόν το μοναδικό δάσκαλο.

Σίγουρα όμως ο Leonardo da Vinci ανακάλυψε το μεγαλείο των μαθηματικών μέσω της ζωγραφικής, την οποία θεωρούσε ως το ζενίθ της τέχνης. Όλη η δομή του Trattato della Pintura είναι οργανωμένη με μαθηματικό τρόπο, παρόλο που δεν καταφέρνει να του δώσει μία τελική μορφή. Και τη ζωγραφική, ο Leonardo da Vinci δεν μπορούσε να τη θεωρήσει μόνο και μόνο ως τέχνη της ομορφιάς. Ο Leonardo da Vinci είχε πάντα, εννοούμε διαχρονικά, μία καθαρή προτίμηση για την αλήθεια. Στους πίνακές του δεν ήθελε ποτέ να παραβιάσει τους κανόνες της αλήθειας. Στην ουσία, για εκείνον η ομορφιά ήταν το αποτέλεσμα της αναζήτησης της αλήθειας. Με άλλα λόγια, η ομορφιά δεν αποτελούσε για το Leonardo da Vinci μία πρωτογενή παράμετρο της τέχνης του. Επιπλέον, η ζωγραφική στέκει από μόνη της, δεν έχει τα προβλήματα της υλοποίησης που έχουν η γλυπτική και η αρχιτεκτονική. Η αναλογία με τα μαθηματικά είναι, λοιπόν, πιο ξεκάθαρη και αποτελεί έναν ισομορφισμό όσον αφορά στο γνωστικό. Δεν είναι, λοιπόν, απίθανο να θεωρούσε ο Leonardo da Vinci τα μαθηματικά ως την τέχνη της αλήθειας. Ήταν και είναι ο μόνος τομέας της γνώσης όπου υπάρχει μία σταθερότητα ακόμα και όταν μελετούμε δυναμικές έννοιες και συμπεριφορές.

Με αυτούς τους διαφορετικούς τρόπους προσέγγισης που βασίζονται πάντα σε μαθηματικές ιδιότητες, βρίσκουμε ένα πλαίσιο κατανόησης της επινόησης του Leonardo da Vinci όσον αφορά στην απαίτησή του για τον αναγνώστη και το μελετητή του.

Επιμέλεια - Παρουσίαση :  Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – M.Sc. Μαθηματικός